Абсолютная и относительная производные

При рассмотрении сложного движения точки нужно рассматривать изменение векторных величин со временем по отношению к системам отсчета, передвигающимся друг относительно друга.

Разглядим случайный вектор в 2-ух системах отсчета: подвижной и недвижной. В подвижной системе отсчета только проекции вектора являются функциями времени, в недвижной системе отсчета не считая проекций, функциями времени Абсолютная и относительная производные являются и единичные вектора (они изменяют свое направление в пространстве).

(9-1)

Рис. 9-1

Введем обозначения - абсолютная производная – производная в недвижной системе отсчета; - относительная производная – производная в подвижной системе отсчета.

Установим зависимость меж абсолютной и относительной производными. Вычислим абсолютную производную по времени от вектора используя формулу (9-1). Получим

(9-2)

1-ые три слагаемых учитывают изменение вектора при постоянных Абсолютная и относительная производные и потому составляют относительную производную, т.е.

. (9-3)

Производные по времени от единичных векторов определим по формулам Пуассона

Вектор - это угловая скорость вращательной части движения вокруг точки О подвижной системы отсчета относительно недвижной.

После подстановки получаем

. (9-4)

Получена формула зависимости производных вектора в 2-ух системах отсчета передвигающихся друг относительно Абсолютная и относительная производные друга (формула Бура).

Сложение скоростей

Пусть система отсчета O1x1y1z1 - недвижная, а система отсчета Oxyz - подвижная. Движение точки относительно основной недвижной системы отсчета O1x1y1z1 именуется абсолютным. Движение точки относительно подвижной системы отсчета Oxyz именуется относительным.Переносным движением точки именуется движение, которое она совершает вкупе с подвижной системой отсчета, как точка, агрессивно скрепленная с этой системой в Абсолютная и относительная производные рассматриваемый момент времени. Относительные скорость и ускорение обозначают и , переносные - и , а абсолютные - и .

Рис. 9-2

Движение подвижной системы отсчета относительно недвижной можно охарактеризовать скоростью ее поступательного движения , к примеру совместно с точкой О, и вектором угловой скорости ее вращения вокруг О.

Аксиома. Скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.

Подтверждение Абсолютная и относительная производные. Разглядим движение точки . Положение точки относительно недвижной системы отсчета определяется вектором , а относительно подвижной вектором . Положение точки относительно недвижной системы отсчета определяется вектором . Для хоть какого момента времени производится тождество .

Продифференцируем его по времени (вычислим производные в недвижной системе отсчета) и получим

(9-5)

По определению, - абсолютная скорость точки , - абсолютная скорость точки Абсолютная и относительная производные . Для вычисления применим формулу Бура. Имеем . Относительная производная - является относительной скоростью точки по отношению к недвижной системе отсчета, а - угловая скорость вращения подвижной системы отсчета.

Таким макаром из (9-5) получаем

(9-6)

Скорость

является скоростью точки свободного твердого тела, скрепленного с подвижной системой координат, с которой на этот момент совпадает точка в движении тела Абсолютная и относительная производные относительно недвижной системы отсчета. Это есть переносная скорость точки .

Совсем получаем

, (9-7)

что и требовалось обосновать.


activity-in-the-virtual-interaction-as-a-factor-of-identity-construction-of-users-of-social-networks-intergenerational-differences.html
ad-saidova-tobolskij-gospedinstitut-studentka-dialog-kultur-i-civilizacij.html
adalbert-shtifter-lesnaya-tropa-izlozhenie.html